Сложение натуральных чисел

Определение. Сложение — это действие, посредством которого единицы первого и второго числа объединяются. Объединяемые числа называются слагаемыми. Число, полученное в результате сложения, называется суммой.

Действие сложения небольших натуральных чисел может производиться устно или в строчку по разрядам слагаемых, учитывая, что каждый полный десяток разряда есть 1 единица следующего (более высокого) разряда.

Например: 235 + 672 = (200 + 600) + (30 + 70) + (5 + 2) = 907.

Сложение больших (многозначных) чисел лучше производить в столбик.

Например: 235 + 672 = 907

Законы сложения

Законы сложения используются для упрощения вычислений. Для натуральных чисел есть два закона сложения: переместительный и сочетательный.

Правило: От перемены мест слагаемых сумма не изменяется (переместительный закон сложения).

Например: 37 + 42 = 42 + 37 = 79.
В общем виде: а + Ь = Ь + а.

Правило. Чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье слагаемое, можно к первому слагаемому прибавить сумму второго и третьего слагаемых (сочетательный закон сложения).

Например: (37 + 42)+ 13 = 37 + (42 + 13).
В общем виде: (а + Ь) + с = а + (Ь + с).

Часто в примерах для вычислений используются сразу оба закона сложения.

Например: 1 300 + 400 + 700 + 600 = (1 300 + 700) + (400 + 600) = 2 000 + 1 000 = 3 000.

Вычитание натуральных чисел

Определение: Вычитание — это действие, с помощью которого по сумме и одному из слагаемых находится второе слагаемое.

Например:
если 55 + 35 = 90,
то 90 — 35 = 55.

В общем виде:
если а + Ь = с,
то с — Ь = а.

Действие вычитания проверяется действием сложения. Число, из которого вычитаем, называется уменьшаемым, а число, которое вычитаем, — вычитаемым. Результат действия вычитания — это разность.

Вычитаемое может быть не одним числом, а суммой нескольких чисел, тогда разность может быть определена еще и по нижеследующему правилу, которое чаще всего применяется при вычислении.
Вычислить удобным способом — это применить законы сложения к конкретным числам так, чтобы сам процесс вычисления неизвестного упростить (например, использовать таблицу дополнения до десятка по разрядам, избежать при вычислении перехода через десяток и т. д.).

Правило 1. Чтобы вычесть сумму из числа, можно из него вычесть одно слагаемое, а из полученного результата (разности) вычесть второе слагаемое.

Например:
126 — (56 + 30) = (126 — 56) — 30 = 40.

В общем виде:
а — (Ь + с) = (а — Ь) — с.

Правило 2. Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного из слагаемых и к результату прибавить второе слагаемое.

Правило 2 можно использовать при вычислении натуральных чисел только в случае, если одно из слагаемых больше вычитаемого числа.

Например:
(71 + 7) — 51 = (71 — 51) + 7 = 20 + 7 = 27, но нельзя (71 + 7) — 51 = (7 — 51) + 71,так как разность (7 — 51) — ненатуральное число.

В общем виде: (а + Ь) — с = (а — с) + Ь.

Свойства разности:

— если к вычитаемому прибавить разность, то получим уменьшаемое;

— если из уменьшаемого вычесть разность, то получим вычитаемое.

Эти свойства разности используются для проверки правильности вычислений при вычитании.

Например: 136 — 82 = 54.

Проверка вычислений:
1) 54 + 82 = 136;

2) 136 — 54 = 82.

Табличное сложение и вычитание натуральных чисел

Таблица сложения и вычитания натуральных чисел приведена для сложения чисел первого десятка и вычитания чисел от 1 до 18. Таблицей удобно пользоваться при сложении или вычитании по разрядам для натуральных многозначных чисел, устный счет построен на сложении по разрядам, т.е. на сложении по этой таблице.

Работа с таблицей предполагает такой результат: таблицу вы запомните, выучите наизусть в процессе вычислений, что значительно сократит время нахождения результата при сложении и вычитании натуральных чисел.

Правила пользования таблицей

Крайний левый столбец и верхняя строка — числа первого десятка — слагаемые при сложении и разность при вычитании. Чтобы сложить два числа, нужно первое слагаемое взять в крайнем левом столбце, а второе — в верхней строке. На пересечении столбца и строки в поле таблицы считывается результат сложения — сумма.

Чтобы вычесть одно число из другого, в поле таблицы нужно найти уменьшаемое и, двигаясь по этому числу по диагонали поля, выбрать строку, в которой в левом крайнем столбце помещено число вычитаемого. По месту строки и числу уменьшаемого расположен столбец, в верхней строке которого считывается разность (результат вычитания).

Примеры пользования таблицей

Сложение. 3 + 5 = 8
Первое слагаемое (3) взято в левом столбце, второе слагаемое (5) взято в верхней строке. На пересечении столбца и строки — сумма (8).

Вычитание. 8 — 3 = 5.
Уменьшаемое (8) выбираем в ноле таблицы и, двигаясь по диагонали поля с цифрой 8, останавливаемся на строке вычитаемого (3). На пересечении строки с числом 3 и столбца с числом 8 считываем разность (5) в верхней строке.

К основным геометрическим фигурам на плоскости относятся точка и прямая линия. Отрезок, луч, ломаная линия — простейшие геометрические фигуры на плоскости.

Точка — это самая малая геометрическая фигура, которая является основой всех прочих построений (фигур) в любом изображении или чертеже.

Всякая более сложная геометрическая фигура — это множество точек, которые обладают определенным свойством, характерным только для этой фигуры.

Прямую линию, или прямую, можно представить себе как бесчисленное множество точек, которые расположены на одной линии, не имеющей ни начала, ни конца. На листе бумаги мы видим только часть прямой линии, так как она бесконечна. Прямая изображается так:

Часть прямой линии, ограниченная с двух сторон точками, называется отрезком прямой, или отрезком. Отрезок изображается так:

 

 

Луч — это направленная полупрямая, которая имеет точку начала и не имеет конца. Луч изображается так:

Если на прямой вы поставили точку, то этой точкой прямая разбивается па два луча, противоположно направленных. Такие лучи называются дополнительными.

Ломаная линия — это несколько отрезков, соединенных между собой так, что конец первого отрезка является началом второго отрезка, а конец второго отрезка — началом третьего отрезка и т. д., при этом соседние (имеющие одну общую точку) отрезки расположены не на одной прямой. Если конец последнего отрезка не совпадает с началом первого, то такая ломаная линия называется незамкнутой.

 

 

Выше изображена трехзвенная ломаная линия.

Если конец последнего отрезка ломаной совпадает с началом первого отрезка, то такая ломаная линия называется замкнутой. Примером замкнутой ломаной служит любой многоугольник:

Четырехзвенная замкнутая ломаная линия — четырехугольник

Трехзвенная замкнутая ломаная линия — треугольник

Плоскость, как и прямая, — это первичное понятие, не имеющее определения. У плоскости, как и у прямой, нельзя видеть ни начала, ни конца. Мы рассматриваем только часть плоскости, которая ограничена замкнутой ломаной линией.

Примером плоскости является поверхность вашего рабочего стола, тетрадный лист, любая гладкая поверхность. Плоскость можно изобразить как заштрихованную
геометрическую фигуру:

Измерение отрезков

Измерить отрезок — это значит установить его длину в определенных единицах. Единицы измерения длины: миллиметр (мм), сантиметр (см), дециметр (дм), метр (м), километр (км). Между единицами длины (единичными отрезками) принято такое соотношение:

• 1 см — 10 мм;
• 1 дм — 10 см — 100 мм;
• 1 м — 10 дм- 100 см- 1 000 мм;
• 1 км — 1 000 м.

Наиболее распространенными инструментами для измерения длин отрезков являются: линейка (с разметкой в сантиметрах и миллиметрах) и рулетка (с сантиметровой, дециметровой и метровой разметкой). Для построения отрезков школьники применяют линейки с миллиметровой и сантиметровой разметкой.

Чтобы построить отрезок заданной длины, необходимо совместить точку начала отрезка и цифру 0 на линейке. Затем по шкале разметки на линейке надо найти длину отрезка и отметить точку конца отрезка. Начало и конец отрезка соединяют с помощью карандаша, не убирая линейки.

На этой линейке цифрами обозначено количество отрезков в сантиметрах (единичные отрезки в 1 см), мелкие деления — это единичные отрезки в 1 мм. Длина построенного отрезка — 23 мм, или 2 см 3 мм.

Числовой луч

Определение. Числовой луч — это направленная полупрямая, имеющая шкалу разметки; начало луча совпадает с точкой О.

Числа, представленные на числовом луче, исключая 0, — это натуральный ряд чисел. Всякое число, стоящее на числовом луче правее, — больше числа, стоящего левее. Чтобы сложить два числа или два отрезка с помощью числового луча, надо начало первого отрезка совместить с началом луча (точкой 0), а начало второго отрезка с концом первого, тогда конец второго отрезка на луче совпадает с числом суммы длин двух отрезков (двух чисел). Если слагаемых больше, то следующий отрезок добавляется к сумме предыдущих слагаемых, как к первому слагаемому.

Чтобы пойти разность двух чисел (из большего отрезка вычесть меньший отрезок), нужно начало отрезка-уменьшаемого совместить с началом числового луча (точкой 0). Совместить концы отрезка-уменьшаемого и отрезка-вычитаемого. Начало отрезка-вычитаемого совпадет с точкой числового луча, равной разности двух отрезков.

Чтобы сравнить два натуральных числа, надо отметить их величины точками на числовом луче (отложить оба отрезка так, чтобы начала отрезков совпадали с точкой 0, а точки концов отрезков будут соответствовать величинам длин отрезков). То число (конец отрезка), которое стоит правее на числовом луче, будет больше числа, стоящего левее (9 > 5).

Шкала

Определение. Отрезок, разбитый с помощью штрихов на части, равные единичному отрезку, называется шкалой.

Самым простым примером шкалы служит обычная школьная линейка, у которой единичный отрезок равен 1 мм, что соответствует принятой метрической системе измерения длин. На шкалах измерительных приборов разметка тоже соответствует единичному отрезку, но длину этого отрезка обычно устанавливают опытным путем и принимают для каждого прибора отдельно.

Так, шкалы термометров могут иметь различную длину единичных отрезков, по каждому делению шкалы соответствует определенная величина — 1 градус Цельсия. Шкала спидометра автомобиля может быть расположена подлине окружности, единичный отрезок от штриха к штриху может иметь разную длину, по любой из единичных отрезков обозначает скорость движения в км/ч.

Шкалы бывают линейные, круговые, спиральные и т. д. Всякая шкала есть мерительный инструмент (измеритель) какой-либо величины происходящего процесса.

Например, линейка — это инструмент для начертания и измерения длин отрезков; спидометр — это инструмент для измерения скорости движения предмета; термометр — это прибор для измерения температуры.

Источник: shkolo.ru.

Простейшие числа — это числа натуральные. Мы пользуемся ими в повседневной жизни для счета предметов, то есть для определения их количества и порядка.

Для записи чисел в настоящее время используется позиционная десятичная система счисления (для записи любого числа используются 10 цифр — 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; при этом значение каждой цифры определяется ее местом в записи числа).

Определение. Натуральные числа — это числа, используемые для счета предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов.

Например: 3, 132, 68, 126, 548, 10050.

Натуральные числа, расположенные в порядке возрастания, образуют числовой ряд. Он начинается с наименьшего натурального числа — 1. Наибольшего натурального числа нет, так как ряд натуральных чисел бесконечен. Если к любому натуральному числу прибавить единицу, то получаем число, следующее за данным числом.

Число 0 натуральным числом не является, так как означает полное отсутствие чего бы то ни было, значит, счет предметов тоже отсутствует.

Натуральные числа в общем виде обозначаются большой латинской буквой N.

Определение. Натуральные числа, расположенные в порядке возрастания, иачиная с 1 и до бесконечности, называются натуральным рядом.

Например, первые члены ряда: 1, 2,3,4

В древнейшие времена для записи чисел и счета использовались палочки, этот способ счисления сохранился в римских цифрах. При этом число представляло собой сумму или разность палочек, записанную без каких-либо знаков.

Следующим этапом развития систем счисления стало обозначение определенных чисел буквами алфавита. Наконец, современные системы счисления являются поместными: значение каждой цифры числа определяется ее местом в записи числа. Первыми из таких систем счислений были вавилонская (шестидесятеричная) и индийская (десятичная).

Современная система счисления, которая называется арабской, является одним из вариантов индийской. Однако в индийской системе счисления отсутствовала цифра 0. Эту цифру изобрели арабы, после чего система счисления приняла современный вид.

Десятичная система счисления основана на разрядности и десятичности.
Материалом для построения числа являются цифры от 0 до 9.

Для исчисления времени в градусной мере углов сохранилась шестидесятеричная система счисления (за основу взято число 60). В 1 часе — 60 минут, в 1 минуте — 60 секунд; в 1 угловом градусе — 60 минут, в 1 угловой минуте — 60 секунд.

Десятичная система счисления, классы и разряды натуральных чисел

Так как десятичная система счисления поместная, то число зависит не только от записанных в нем цифр, но и от места записи каждой цифры.

Определение: Место записи цифры в числе называется разрядом числа.

Например, число состоит из трех цифр: 1, 0 и 3. Поместная, или разрядная, система записи позволяет из этих трех цифр составить трехразрядные числа: 103, 130, 301, 310 и двухразрядные числа: 013, 031. Приведенные числа расположены в порядке возрастания: каждое предыдущее число меньше последующего.

Следовательно, цифры, которые используются для записи числа, не определяют полностью это число, а служат только инструментом его записи.

Само число строится с учетом разрядов, в которых записана та или иная цифра, т. е. нужная цифр должна еще и занимать нужное место в записи числа.

Правило. Разряды натуральных чисел именуются справа налево от 1 к большему числу, каждый разряд имеет свой номер и место в записи числа.

Наиболее употребляемые числа имеют до 12 разрядов. Числа, имеющие более 12 разрядов, относятся к груп­пе больших чисел.

Количество занятых цифрами мест при условии, что цифра наибольшего разряда не 0, определяет разрядность числа. О числе можно сказать, что оно: однозначное (одноразрядное), например 5; двузначное (двухразрядное), например 15; трехзначное (трехраз­рядное), например 551, и т. д.

Кроме порядкового номера каждый из разрядов имеет свое наименование: разряд единиц (1-й), разряд десятков (2-й), разряд сотен (3-й), разряд единиц тысяч (4-й), разряд десятков тысяч (5-й) и т. д. Каждые три разряда, начиная с первого, объединены в классы. Каждый класс тоже имеет свой порядковый номер и наименование.

Например, первые 3 разряда (от 1-го до 3-го включительно) — это класс единиц с порядковым номером 1; третий класс — это класс миллионов, он включает 7-й, 8-й и 9-й разряды.

Приведем структуру разрядного построения числа, или таблицу разрядов и классов.

Таблица разрядов и классов чисел

Классы	Разряды
1-й класс   единицы	1-й разряд    единицы 2-й разряд   десятки 3-й разряд   сотни
2-й класс    тысячи	1-й разряд    единицы тысяч 2-й разряд   десятки тысяч 3-й разряд   сотни тысяч
3-й класс    миллионы	1-й разряд    единицы миллионов 2-й разряд   десятки миллионов 3-й разряд   сотни миллионов
4-й класс    миллиарды	1-й разряд    единицы миллиардов 2-й разряд   десятки миллиардов 3-й разряд   сотни миллиардов

 

Число 127 432 706 408 — двенадцатиразрядное и чи­тается так: сто двадцать семь миллиардов четыреста тридцать два миллиона семьсот шесть тысяч четыреста восемь. Это многозначное число четвертого класса. Три разряда каждого класса читаются как трехзначные числа: сто двадцать семь, четыреста тридцать два, семьсот шесть, четы­реста восемь. К каждому классу трехзначного числа добавляется наименование класса: «миллиардов», «милли­онов», «тысяч».

У класса единиц наименование опускается (подра­зумевается «единиц»).

Числа от 5-го класса и выше относятся к большим числам. Большие числа используются только в специфи­ческих отраслях Знаний (астрономии, физике, электро­нике и т. д.).

Приведем ознакомительно названия классов от пятого до девятого: единицы 5-го класса — триллионы, 6-го класса — квадриллионы, 7-го класса — квинтиллионы, 8-го класса — секстиллионы, 9-го класса — септиллионы.

Округление натуральных чисел

Часто при расчетах нет необходимости в большой точности вычислений, в этом случае числа подлежат округлению, что значительно упрощает расчеты.

Правило. Округлить натуральное число — это значит до определенного разряда (округление производится от первого разряда к более высокому разряду) заменить значащие цифры нулями. При этом в разряде, до которого число округляется по условию, цифра не изменяется, если в самом высоком разряде, подлежащем округлению, стоят цифры 1, 2, 3 или 4, н увеличивается на 1, если ему предшествует разряд с цифрами 5, 6, 7, 8 или 9.

• Округление чисел, Пример. Число 15 904
• — округлить до десятков (до второго разряда):
  15 900 (так как цифра первого разряда 4, то цифра 0 второго разряда, не изменяется при округлении);
• — округлить до сотен (до третьего разряда):
  15 900 (так как цифра второго разряда 0, то цифра 9 третьего разряда не изменяется при округлении);
• — округлить до единиц тысяч (до четвертого разряда):
  16 000 (так как цифра третьего разряда 9, то цифра 5 четвертого разряда увеличивается при округлении на 1, т. е. 5 + 1 = 6);
• — округлить до десятков тысяч (до пятого разряда):
  20 000 (так как цифра четвертого разряда 5, то цифра 1 пятого разряда увеличивается при округлении на 1, т. е. 1 + 1 = 2),

Источник: shkolo.ru.